Пока посмотрела только первую серию и отвечаю на ваши вопросы.
Если вы, придя с улицы, помыли руки - пускай лижет их на здоровье. Это только приятно и говорит о ласковости малыша.
Хвост крысам купируют нехорошие (мягко говоря) люди, чтобы их было легче продать. Теперь он уже, к сожалению, не отрастёт. Вам надо следить, чтобы в жару Оззи не перегрелся, поскольку охлаждаются они в том числе и хвостом, и избегать лазаний на верхотуру, поскольку, как вы сами заметили, с балансом у мальчика плохо. Именно по этой причине (а ещё и потому, что дерево хорошо впитывает мочу), я бы не стала делать квартиру Оззи на полках.